Как правильно пишется «без умолку» или «безумолку»?

«Без умолку» — наречное выражение, всегда пишется раздельно.

Правило: пишутся раздельно употребленные в наречном значении сочетания имен существительных с предлогами: без, в, до, за, на, от, по, под, с.
Д. Э. Розенталь «Справочник по правописанию и стилистике», § 58, п.3

Примеры предложений:

Без умолку пищали комары, кружась над головами туристов.
Она хотела спать, а он все продолжать болтать без умолку.
Когда мы встречаемся с подругой, то болтаем без умолку несколько часов.
Она тараторила без умолку.
Он без умолку повторял одно и то же слово.
Наталья без умолку твердила, какой замечательный и добрый человек её новый знакомый.
Мы колибри, и это наш остров, ― щебетала она без умолку.